부록 2
논리학에 맞게 해석된 연산
지시 연산은 최초 구별로 구별된 두 개의 상태들 가운데 하나 또는 다른 하나를 가리키는 일련의 방식들로 조성되어 있으며, 그렇기에, 우리는 이러한 류의 분명한 구별을 갖는 지시 형식들에 지시 연산을 응용할 수 있을 것입니다. 이는, 이를테면, 문을 열거나 닫을 수 있는 곳, 또는 스위치를 켜거나 끌 수 있는 곳, 또는 흐름이나 방향을 트거나 막을 수 있는 곳, 등등의 경우들에 응용되어야 합니다. 또한, 이는 참이거나 거짓일 수 있는 문장들을 포괄하는 언어 구조에도 응용될 것입니다.
우리가 행해온 방향에서 그 응용의 문제를 고려할 경우, 그 연산이 이들 모든 경우들에 유용한 또는 폭로하는 응용력을 갖출 수 있는가는, 그것이 응용될 것임을 우리가 알 수 있다할지라도, 당장은 분명치 않습니다. 그 연산은 이 에세이에서 일련의 형식들과 일탈들로 쌓아올려졌고, 그 결과 우리가 발견한 것이 기묘하게 보이겠지만, 마찬가지로 우리가 왜 그것을 찾기 위해 고생했는가 또한 그렇게 보일 수 있습니다.
사실, 이러한 방향으로 연산 발달에 착수하는 일은 저자한테는 두 번째 여행이지만 독자한테는 첫 번째일 것입니다. 저자의 이전 여행은 반대 방향, 우리가 이제 막 논의하려 하는 해석 형식들에서 이것들이 생겨나는 지시 형식들로 가는 것이었습니다. 저자는,그렇기에, 그 여행이 어디서 끝나는가와 그가 이제 되돌아가는 길을 찾기 위해 착수해야 했던 해명들과 단순화들에 대해, 독자가 아직 알아차리지 못할지라도, 알아차리고 있습니다. 또한, 그는, 그가 이러한 해명들이 명쾌하고 설득력이 있다는 인상을 독자한테 어떻든 전할 수밖에 없다할지라도, 그 해명들로 돌아오는 길이 공고해질 것임을 알고 있습니다.
연산을 해석하면서 우리가 하는 일은, 연산에서 허용된 값이나 상태, 또는 요소(要素)들을 그 연산이 해석되어야 하는 바에 속하는 일련의 값이나 상태 또는 요소들과 어울리게 하는 것입니다. 해석이 적절히 어울리고 있다할 조건이란, 해석의 각 요소가 연산에서 동일시될 수 있는 요소와 연계되어 있고, 각각 사례에서 요소들이 자신들끼리 유사한 구별들을 취하는 경우입니다. 이렇게, 연산과 그 해석 사이에 필히 이 정도의 유사성이 있다할지라도, 하나 이상의 값을 갖는 연산이라면 어떤 것이든, 연산과 해석은 구별됩니다. 그것들이 구별된다는 사실은 주어진 해석의 응용 방식이 다수라는 바로 인해 명백해집니다.
연산이 구별된 값들 n을 나타내고 있을 경우, 분명, 이 값들과 해석에서 나타난 구별된 값들 n을 어울리게 하는 상이한 방식들 n!이 있으며, 그래서 그와 같은 해석이 취할 수 있는 상이한 형식들 n!이 있는 것입니다. 문장 논리(sentential logic)에 걸맞게 지시 연산을 해석하는 데에 있어서, 우리는 최초 구별 상태를 하나하나를 참인 것과 참이 아닌 것으로 구별된, 가능한 해석 수(數) 2! = 2를 보이는, 상태들 하나하나와 어울리게 할 것입니다.
연산과 그 해석이 구별된 것들이라는 사실은 매우 중요한 것입니다. 그 사실을 활용하지 못할 경우, 우리는 그밖에 당장 이용할 수 있는 평이한 형식들에 접근할 수 없습니다. 수학에서 빈번하게 알아볼 수 있는 그와 같은 형식 하나는, 구체적 응용에서는 해석을 갖지 않는, 그러나 그럼에도 그곳에서 답하는 방식을 짧게 하는 데 쓰일 수 있는 구성을 기초로 쓰는 것에 있습니다. 훌륭한 예는,논리 영역을 넘어서, i = 
을, 연산자로서, 전자기 이론에 쓰는 것입니다.
우리는, 논리학에서, '참이 아닌'은 '거짓'과 같은 뜻으로, 그리고 '거짓 아닌'은 '참'과 같은 뜻으로 보고 있습니다. 그렇기에, 우리는 비표시 상태를 참으로 표시 상태를 거짓으로 연계시킬 것인지 또는 비표시 상태를 거짓으로 표시 상태를 참으로 연계시킬 것인지 선택합니다. 우리가 하는 선택이, 계산의 관점에서 보자면, 아주 하챦을지라도, 후자의 연계가 해석의 관점에서는 사실 더 쉽습니다.
따라서, 우리는 표시 상태, 즉, 빈 가로지르기는 참과 비표시 상태, 즉, 백지 공간은 거짓과 동일시합니다.
우리는 변수들 a, b, ... 을, 이제, 복잡한 문장 속 다양한 단순한 문장들에 대한 가능한 진리치들을 상징하고 있는 것들로 놓을 수 있으며, 이를 위해서 우리는 구별된 변수들을 구별된 단순 문장들에 할당하는 것을 허용합니다.
다음, 우리는 문장 연산에서 상수들을 적절히 나타낼 형식들을, 일차 대수에서 찾아야 하며, 그 형식들을 경유해서 이들 값들이 관계됩니다.
'~a' 또는 'a가 아니다'는 '
'를 통해 해석할 수 있음이 분명합니다. 또한, 'a V b' 또는 'a 그리고/또는 b' 에 맞는 진리표는 우성 규칙에 따라 보여진 것과 정확히 같은 형식을 갖고, 하여, 'a V b' 가 'ab'로 간단히 나타낼 수 있음도 분명합니다. 그밖에 모든 형식들은 이제 이것들로 만들어질 수 있습니다. 따라서,
단어로 문장 연산으로 일차 대수로
a ⊃b가 
로 쓰여야 하는 대안보다 윗 함의(implication) 재연(再演)이 더 쉬운 것은, 이러한 해석 방식 선택에서, 그 나타내는 바, 즉, 재연(再演)의 단순함에 있습니다.
그 해석을 그 같은 출발 준비로서 검토할 경우, 표준 문장 연산에 둘 다는 쓸 수 없는 권한의 두 출처들을 우리는 즉시 보게 됩니다. 그 두 출처들은, 분명, 수많은 재연(再演) 형식들을 하나의 형식으로 축약한 것들이자, 요구될 경우, 일차 산술을 매개로 한 논리 너머까지 진행하는 능력입니다.
이들 출처들 가운데 첫째 것과 관련해, 우리는 논리곱에 걸맞는 형식들을, 도해를 목적으로, 취할 수 있습니다. 문장 연산에서 그것들은 아래와 같습니다:
이들 여섯 개의 구별된 표현들 각각은, 일차 대수에서는 오직 하나의 방식,
으로만 적습니다. 그와 같은 문장들을 이들 상징들에 부합하게 만드는 목적은 재연(再演), 다시 나타내는 것이 아니라 계산이기에,이러한 단순화는 적절합니다. 따라서, 재연(再演) 형식에서 필요 없이 길게 쓰는 걸 피한다는 단순 원리로, 우리는 계산 과정을 꽤 힘들지 않게 만듭니다.
하지만, 이러한 단순성을 통해 우리한테 허가된 권한은, 큰 것이긴 하지만, 일차 대수와 그 산술과 연결을 통해 쓸 수 있는 권한과 필적할만 합니다. 이러한 깜냥으로 우리는 길고 지루한 계산들을 꼬박꼬박 하지 않을 수 있으며, 또한 그러한 계산들 못지 않은, 진리표를 작성하는 포괄적 (수학적으로는 약한) 절차들과, 벤다이어그램들 그리고 이것들과 동등한 현대적인 것들로서 그리는 (수학적으로는 세련되지 못한) 방법들과 같은 대안들 없이도 해낼 수 있습니다.
이는, 대수 표현의 세 가지 부류(class)들, 통합적(integral), 비통합적(disintegral), 귀결적(consequential) 표현들이, 그 해석에서, 참(동어반복적(恒眞的)), 거짓(모순적), 그리고 일관적에 각각 부합하고 있다는 바가 주물럭거려 쉽사리 구별될 수 있다는 사실로 가능해집니다.
사례. 다음 복잡한 문장들을 각각 참인 것, 참이 아닌 것, 또는 일관된 것으로 분류하시오.
참이다.
거짓이다.
일관된 것이다.
일차 대수로 행해진, 이들 계산들은 수학적으로는 하찮게 여길 정도로 간단합니다. 말하자면, 문장들의 각각의 모멘트들은 지시 연산으로 쓰여져 있으며, 이 형식에 익숙한 사람한테, 그 답은 분명 단순한 검사에 불과합니다. 나는 여기서 독자들이 아직 이 형식에 익숙지 않다는 가정 하에 아주 작은 단계들로 천천히 계산했습니다.
이렇게 산술을 이용할 수 있는 바에 따른 귀결들은 쓸어내기(sweeping)입니다. 원시적 함의를 지닌 모든 형식들이, 불필요한 반복으로 특징지어진 것들, 즉 ,리던던트한 것들인 까닭은, 그것들과 그 파생들이 가로지르기 하나에서 쉽게 구성되거나 환원 과정을 거쳐 가로지르기 하나로 검증되기 때문입니다. 이를테면, 프린키피아 메스메티카의 98-126 쪽에 있는 모든 것들은 형식의 손실 없이 상징,
로 다시 쓰여질 수 있습니다; 단, 이 단계에서, 계산과 해석의 형식적 절차들이, 정말 프린키피아에 있기에, 은연 중 이해되고 있다면, 그렇습니다. 해당 페이지들에 150개 정도의 상징들을 허용할 경우, 이는 수학적 노이즈-수준을 40000배 이상 줄여 나타내는 것입니다.
표현 형식의 명쾌함에서 얻은 그와 같은 엄청난 이득과 함께, 거짓된 논증의 무가치성도, 유사하게, 직접 확인하는 길이 열립니다. 우리는 아래에 그와 같은, Maurant이 딜레마로 제공했던, 논증 하나를 도해하겠습니다 주)18.
우리가 건전한 경제를 갖고자 한다면, 우리는 통화를 팽창시키지 말아야 한다. 그러나 우리가 경제를 발전시기려면, 우리는 통화를 팽창시켜야 한다. 우리는 통화를 팽창시키거나, 통화를 팽창시키지 않는다. 그러므로, 우리는 건전한 경제를 갖지도 경제를 발전시키지도 못할 것이다.
이제,
s는 우리는 건전한 경제를 갖는다를 상징하는 것으로,
c는 우리는 통화를 팽창시킨다를 상징하는 것으로,
e는 우리는 경제를 발전시킨다를 상징하는 것으로,
합시다.
윗 논증을 일차 대수로 전사(轉寫)시키면, 우리는
를 발견합니다. 이 표현은 귀결적이지만, 그 사실이 아직 분명하지 않을 경우, 임의의 변수와 상수, 이를테면, 
를 취해 정리 16의 역을 쓸 수 있습니다. 그래서,
이것은 분명 환원될 수 없으며, 하여 또한 최초의 것일 수도 없습니다. 따라서 그 어떤 딜레마도 없습니다. 또한, 윗 논증의 그밖에 특징들, 특히, 전제, 'c이거나 c가 아닌'의 완전한 부적절성, 말인즉, 여타 것들과는 전혀 무관하다는 점이 조명되고 있습니다.
잠시 물러서서 화이트헤드와 러셀의 함의 논리와 같은 구조를 고찰할 경우, 우리는 그것이 전적으로 등가 논리의 구조에 포함되어 있음을 볼 수 있습니다. 차이는 쓰인 단계의 종류에 있습니다. 전자의 경우 표현들은 함의 관계로 분리되지만, 후자의 경우 그것들은 등가 여부에 따라 분리됩니다.
어떤 표현이 함의 관계로 분리된 것일 경우, 그 표현은, 물론, 유도되기 전 표현과 등가일 필요는 없습니다. 그러나 그것이 항진 명제일 경우 또 다른 항진 명제에 함의될 수 있으며, 고로, 그와 같은 경우, 함의 기호는 언제나 등가 기호로 치환될 수 있습니다. 따라서, 그와 같은 함의, 등가 논리들의 가장 긴밀한 관심사인 참인 부류의 진술들에서 보자면, 사실 함의 논리는 등가 논리로 퇴화됩니다.
이 텍스트에서 일차 대수의 완전성 정리는, Post의 최초 주)19 약한 정리를 포함하기에, 논리학으로 해석된, 강한 완전성 정리로 불리는 것입니다. 약한 정리는, 그저, 참인 모든 진술들은 초기에 주어진 자신들이 유도될 참인 진술들에 함의되어 있다는 점을 단언하고 있을 뿐입니다. 참인 진술들의 경우 함의는 등가와 동등하므로, 그와 같은 정리는 모든 등가 형식들의 완전성을 진술하는 정리에 포함될 수밖에 없다는 점을 알게 됩니다; 이때, 그 형식들에서 해석된 진술들이 참인가, 거짓인가, 일관적인가 하는 점은 무관합니다.
이제, 지시 연산이 전통적인 부류 논리에 적용될 수 있는 방식을 고찰할 수 있습니다. 그렇게 하기 전에, 논증의 전제들을 우리가 논리적 연언(連言)으로, 그 반대 지침들 없이, 관련시키고 있음을 당연시 하고 있다는 요지의 이제껏 침묵했던 (또는 비교적 침묵했던) 또 하나의 가정을 진술하는 것은 흥미로운 일입니다. 이를테면, 윗 딜레마로 가정했던 것을 전사하면서, 우리는 우선, 연언을 부여하기 위해, 개별적 전제들을 각각 전사한 것에 가로지르기를 한 다음, 그 결과 전체에 가로지르기를 쳤고, 최종적으로 함의에 맞게 이것들 모두에 다시 가로지르기를 쳤습니다. 실상, 우리는 습관적으로 '그리고'를 적절한 틈새 상수로서 간주하고 있습니다. 하지만, 우리가, 이를테면, '그리고' 대신 '또는'이 전제들을 관계짓는 상수라고 가정할 경우, 문장 논리와 부류 논리를 바꿔쓸 수 있습니다. 이에 대해 독자는 증명하고자 할 수 있습니다. 그것은, 특히 부류들에 대한 논리와 관련해서, 감춰진 것을 보는 훈련이며, 그것은 어렵지 않습니다.
전통적 부류 논리의 보편적인 모든 형식들은 문장 논리로 수용할 수 있으며, 그렇기에 우선 이들 형식들을 고찰할 것이다. 그것들을 조정 수용하기 위해서, 우리는 그 패턴을 아래 표현들,
모든 a는 b다 에 대해서는 ( x ∈ a ) ⊃ ( x ∈ b );
어떤 a도 b가 아니다 에 대해서는 ( x ∈ a ) ⊃ ( x ∈ ~b )
로 쓸 것이며 그밖에 형식들은 이에 따를 것입니다. 문장과 부류들에 별도 문자를 쓰는 것을 피하기 위해, 우리는, 계산 형식들에서, 문장 'x ∈ v ', 즉, 'x는 부류 v의 원소이다'를 상징하기 위해 단순 문자 변수 v를 허용할 수 있습니다. 기호 v는, 부류를 지시하기 위해 사용된 것으로, 계산 과정에 가담하지 않기에, 본의 아닌 혼동은 일어나지 않습니다. 그 계산 과정에서 v는 오직 대응 문장의 진리치만을 재연(再演)하고 있을 뿐입니다.
바바라(Barbara) 삼단논법 형식을 취한 다음, 화이트헤드와 러셀이 한 것처럼, 소 전제(minor premiss)를 맨 앞에 놓으면,
모든 a는 b다, 그리고
모든 b는 c다 이면,
그때, 모든 a는 c다
를 얻으며, 이는,
로 나타낼 수 있습니다. 이 문장 형식은 이와 같이 항진 명제라는 것을 알 수 있으며, 그 논증은 그렇기에 유효한, 말인즉, 타당합니다. 타당치 않은 논증의 경우, 대수 표현은 가로지르기 하나로 환원되지 않으며, 이로써 우리는 삼단논법 형식을 취하는 보편적 논증의 타당성을 검사하는 신뢰할 만한 시스템을 갖게 됩니다. 우리는 차후 전제들에서만 결론을 끌어내는 방법을 연구할 것입니다. 현재 형식에서는, 우리가 보고 있는 것처럼, 이 형식의 타당성은 검사될 수 있지만, 전제들만 부여된 경우, 결론은 오직 시행함으로써만 발견될 수 있습니다.
등가의 문제들이 비슷하게 이러한 방식에 해결책을 주고 있습니다.
사례주)20. 어떤 클럽은 다음과 같은 규칙들을 갖고 있다.
(a) 재무 위원회는 전원 위원회 가운데서 선출되어야 한다,
(b) 재무 위원회에 속하지 않으면 전원 위원회와 도서 위원회의 성원일 수 없다,
(c) 도서 위원회의 어떤 성원도 재무 위원회 성원일 수 없다.
이들 규칙들을 단순화하시오.
절차.
x는 재무 위원회의 성원이다 는 m 으로 쓰고,
x는 전원 위원회의 성원이다 는 g 로 쓰고,
x는 도서 위원회의 성원이다 는 b 로 쓴다.
일단의 규칙들의 틈새 상수는 통상 연언(連言)으로 이해되며, 그렇다면 이제 이것들을, 다음과 같이, 일차 대수로 전사시킬 수 있습니다.
우리의 목표는, 가능한 한, 더 단순한 등가의 연언 형식으로 환원시키는 것이며, 그렇게 함으로써 최초 규칙 집합을 바꿔 사용할 수 있도록 하는 것입니다.
이 답을 다시 전사시키면 다음과 같습니다:
(1) 재무 위원회는 전원 위원회 가운데서 선출되어야 한다,
(2) 전원 위원회의 어떤 성원도 도서 위원회 성원일 수 없다.
우리는 정리 16에 따라 이 답을 검사할 수 있습니다. 
이라 하면,
.
이라 하면,
,
따라서, 우리가 해당 문제를 적절히 해석한 경우라면, 답은 정확합니다.
우리는, 이 해답에서, 도서 위원회의 어떤 성원도 재무 위원회 성원일 수 없다는 취지의 함의를 얻을 수 있는 것은, (함의를 위해) F4에 가로지르기를 하고 반사시켜,
를 얻고, 여기에 우리의 잠정 결론을 추가하면,
이기 때문입니다. 이러한 류의 추론으로 도해된 수학적 구조는 다음과 같은 명제를 제안하고 있습니다.
해석 정리 1
통합적(integral) 표현들은 참이 되도록 일차 대수를 해석하고, 다수의 류 포함 전제들 각각이 문장에 맞게 일차 대수로 전사되고, 그리고 홀과 짝 수준(또는 깊이)들에서 똑같은 문장을 나타내는 변수들이 소거되면, 그럴 경우, 남는 것은, 다시 전사될 때, 논리적 결론이다.
이 증명은 어렵지 않기에, 독자들이 처리할 수도 있습니다. 정리는, 추론을 손쉽게 하듯, 상당한 권능을 갖습니다. 이를 도해하기 위해 루이스 캐롤(Lewis Carroll)의 마지막 연쇄삼단논법(sorites)를 취하겠습니다.
문제는 다음과 같은 일련의 전제들에서 결론을 끌어내는 것입니다.
(1) 이 집에 있는(h) 유일한 동물들은 고양이(c)들이다;
(2) 달을 쳐다보는 걸 좋아하는(m) 동물은 모두 애완동물로 적합하다(p);
(3) 나는 동물이 싫으면(d) 멀리한다(a);
(4) 밤에 배회하지(v) 않는다면, 어떤 동물도 육식성이(n) 아니다;
(5) 어떤 고양이(c)도 쥐들을 죽이는(k) 데 실패하지 않는다;
(6) 내 맘에 드는(t) 동물은 이 집에 있는(h) 것들 뿐이다;
(7) 캥거루(r)는 애완동물로 적합하지 않다(~p);
(8) 육식성(v) 동물을 제외하면 쥐들을 죽일(k) 수 있는 건 없다;
(9) 나는 내 맘에 들지 않는(~t) 동물들을 싫어 한다(d);
(10) 밤에 배회하는(n) 동물들은 언제나 달을 쳐다보는 걸 좋아한다(m).
이와 같은 문제들을 풀기 위해 이제껏 택했던 방법은 차근차근 단계를 밟아 해결하는 것이었지만, 이에는 상당한 시간이 소모될 수 있습니다. 윗 정리를 사용하여, 우리는, 그저, 각기 구별된 (하지만 여집합은 아닌) 집합에 대응하는 구별된 변수들 채택하고, 전사하고, 소거하는 것만으로, 거의 즉시 답에 이르게 됩니다. 그럼, 먼저,
h 는 이 집에 있다 에 대한 변수로;
c 는 고양이 에 대한 변수로;
p 는 애완동물로 적합하다 에 대한 변수로;
d 는 나는 싫다 에 대한 변수로;
a 는 나는 멀리한다 에 대한 변수로;
m 는 달을 쳐다보는 걸 좋아한다 에 대한 변수로;
v 는 육식성이다 에 대한 변수로;
n 는 밤에 배회한다 에 대한 변수로;
k 는 쥐들을 죽인다 에 대한 변수로;
t 는 내 맘에 든다 에 대한 변수로;
r 는 캥거루 에 대한 변수로
채택합니다. 우리는, 적절성의 원리에서 보자면, 동물 집합에 대한 변수는 채택할 필요가 없습니다. 이제 전사와 소거를 진행시킵니다:
이 결과, 남는 것은 
입니다. 그러므로, 나는 모든 캥거루를 멀리한다.
이제껏 우리가 고찰했던 것은, 문장 논리의 문제들을, 또한 고전 논리 또는 집합 이론의 보편적, 또는 실존하지 않는, 귀결을 갖는 문제들을, 지시 연산을 사용해서 일차 대수 형식으로, 명확히 그리고 간단히 하는 방식이었습니다. 우리는 이제 지시 연산을, 고전 논리에서 실존하는, 또는 구체적, 귀결을 갖는 문제들로 연장시키는 바를 고찰할 것입니다.
우리는,
모든 a 는 b 다
와 같은 보편적(혹은 전칭) 진술을 어떻게 문장 연산에서 복잡한 등가로 번역해서 나타낼 것인가 하는 문제를 해결했습니다. 이제 우리가 답을 구해야 할 문제는,
어떤 a 는 b 다
와 같은 실존적(혹은 특칭) 진술도 비슷하게 번역될 수 있는가 하는 것입니다.
우리가 먼저 주목할 것은, '모든 a 는 b 다'는 일반적 단언에 대한 반박은 b 가 아닌 어떤 a 를 발견하는 것으로 충분하다는 점입니다. 우리는 또한 주목할 것으로, 진술,
어떤 a 도 b 가 아니다
가 진술,
모든 a 는 b 다
를 반박하지, 또는 이것과 모순되지, 않는다는 점인데, 그 까닭은, a가 실존하는 것이 아닌 경우, 양 단언들 모두 참이기 때문입니다.
앞서 채택한 원리에 따라 전사시킬 경우, 진술,
어떤 a 는 b 가 아니다
는 진술,
모든 a 가 b 인 것은 아니다
로 말할 수 있고, 이것은
로 나타낼 수 있습니다.
그래서, 비슷하게, 우리는 진술,
어떤 a 는 b 다
는
로 나타낼 수 있습니다.
이것이 풀리는 방식을 보기 위해, 또 하나의 삼단 논법, 이번에는 실존적 귀결을 전사시킵시다. 그럴 경우,
모든 a 는 b 다
어떤 a 는 c 다
∴ 어떤 b 는 c 다
는
이 됩니다. 이러한 삼단 논법이 타당함을 다른 방식으로 볼 수 있기에, 적절히 나타나고 있는 것으로 보입니다. 하지만 우리가 타당하지 않은 것으로 알고 있는,
어떤 a 는 b 다
어떤 b 는 c 다
∴ 어떤 a 는 c 다
을 똑같은 규칙들을 써서,
로 나타낼 수 있습니다. 나타난 바는 타당한 것으로 보입니다. 이러한 외관상 모순을 우리는 어떻게 해결하고 있습니까?
분명히 할 것이 하나 있습니다. 그 질문에 답은, 교과서들에서 (보통 묻지 않기에, 내포된 채), 아리스토텔레스가 최초로 했던 것처럼, 이러한 추론을 허락하지 않는 일련의 다소 복잡한 규칙을 부여함으로써, 행해지고 있습니다. 그러나 어떤 걸 하지 말아야 한다고 말하는 일련의 규칙들은, 왜 하지 말아야 하는가에 대한 설명은 아닙니다. 또한, 우리가 그 추론을 허용함으로써 부적절한 결론에 이르게 된다면, 이 책의 설명을 위한* 모든 진술들에 요구된 높은 차원의 이해하기를 경험할 수 없을 것입니다. 우리는 분명 나무랄 데 없는 해석 절차가 느닷없이 우리의 기대를 저버리는 영역을 발견했고, 우리는 그러므로 이러한 영역을 피해야 한다고 말하는, 그렇지만 관행(慣行) 또는 실제(實際)에서는 잘 작동하는, 모든 규칙들은 당면 문제에만 적용되는 ad hoc 불만스런 특징을 갖고 있습니다.
벤 다이어그램 같은 그래픽 형식들은, 질문에 대한, 핵심이 아닌 주변적인, 그림 같은 현실을 제공하기에, 그러한 형식들에 기대는 것, 또한, 쓸모가 없습니다. 그 질문에 답하기 위해서, 우리는 아주 교묘한 접근을 찾아야만 합니다.
우리가 우선 관찰할 바로, 논할 영역(또는 우주), 이를테면,
그 안에 a 가 있는 경우,
그렇다면, 이 a 는 그 안에 있는 b 다
에 관한 진술들에는 이 조건에 따른 속성들을 지닌 그 영역의 실존에 대한 요구가 담겨 있다고, 또 다른 수준에서, 생각될 지라도, 그 진술들은 그 안 어떤 것이든 그에 대한 실존을 요구하는 단언들일 수는 없습니다. 하지만, 그와 같은 진술을 부정하기 위해, 우리가 요구할 것은,
그 안에는 b 가 아닌 a 가 적어도 하나 실존한다
입니다.
이제 '실존하는'과 '실존하지 않는' 사이 구별은, 그 적용에 있어서, '참'과 '참이 아닌' 사이 구별과 비슷하지 않습니다. 진술 s가 참일 경우, 그 대한 상보적(相補的) 진술 ~s는 거짓입니다. 그러나 어떤 것 t가 실존하고 있을 경우, 그에 대한 상보적인 t-아닌 것이 반드시 비(非)-실존일 필요는 없습니다. 영국이란 세계(宇宙)에서, 런던에 대한 상보적인 것은 지방입니다. 지금 시점에서, 양자는 분명 실존하고 있습니다. 따라서 어떤 실존도 또 다른 실존에서 생겨나지 않으며, 하여, 하나의 진술이나 진술 목록에서 단지 실존을 단언하는 것만으로 적절한 결론을 끌어낼 수는 없습니다.
아직 우리는 주변에 머물러 있습니다. 말하자면, 우리는 계속해서 해석의 형식을 검토하고 있습니다. 이때, 우리는 그 형식이 수학에 대한 신뢰를 어디서 어떻게 깨뜨리고 있는지 정확히 알지 못하고 있습니다.
수학과 해석을 관련짓는 가운데, 우리가 발견했던 형식들은,
과 같은 것들로, 이들 해석에 있어, 실존에 관해서는 그것을 단언(主張)하지도 부정하지도 않는, 즉, 아무 것도 말하고 있지 않습니다. 그러나 가로질러진,
와 같은 형식들은 이제 실존에 관해서, 적어도 우리가 그것들에 허용했던 해석으로, 무언가를 말하고 있습니다.
표현 는, b가 아닌 a를 위한 공간은 없도록 우주(宇宙)의 모양을 한정하고 있기에, 보편적입니다. 아무튼, 이것이 우리가 그것을 취하는, 즉, 붙잡는 방식입니다. 그러나, 이 우주에서는 b인 a가, 설사 우리가 원할 경우 그 하나를 담을 공간이 있을지라도, 실존하는 일은 벌어지지 않는다는 다만 그런 뜻으로, 우리가 그것을 (취하지는 않지만) 취할 수는 있습니다. 달리 말하면, 우리는 그 표현을 실존하는 것으로 해석을 (하지는 않지만) 할 수는 있습니다.
비슷하게, 우리는 표현 도 보편적인 것으로 해석하는 것이 가능합니다. 그럴 경우,'어떤 a 는 b 가 아니다'는 진술은 '모든 a 는 b 다'는 진술을 반박하기에, 충분하지만, 필요 조건은 (말인즉, 그 부정이 자기-모순은) 아닙니다. 그것을 반박할 대안으로는, 그것을 증명하기 위한 a의 실존에 대한 실제 요구 없이, b이기도 할 어떤 a를 요구하는 바와 같은 형식을 우주가 취하고 있다는 바에 대한 (말인즉, 실재론에 대한) 부정이 있을 뿐입니다.
이러한 대안으로 우리가 얻는 것은, 비-실존적 무엇에 대한 모든 해석들에 제한을 가하는 수단입니다. 이제 이것이 타당치 않은 삼단논법의 경우에는 어떻게 해결되는 지 봅시다. 이제,
어떤 a 는 b 다
어떤 b 는 c 다
∴ 어떤 a 는 c 다
는, 어떤 진술도 실존하는 바로 여겨져서는 안된다는 이상의 요구를 분명히 하기 위해서,
어떤 a 도 b 가 아니다는 실상이 아니다.
어떤 b 도 c 가 아니다는 실상이 아니다.
∴ 어떤 a 도 c 가 아니다는 실상이 아니다.
라는 형식으로 쓰여져야 합니다.
이래도, 한눈에 보아, 곤란에서 완전히 벗어난 것은 아닙니다. 하여, 이와 같은 기술에서 우주가 b들일 a들을 위한, c들일 b들을 위한 공간은 남기도록 강제하는 것으로 보일지라도, c들일 a들을 위한 공간을 남기도록 강제하는 (이것의 함의는 '해야하는')것으로 보이지는 않습니다.
그와 같은 공간이 없는 우주는, c들이기도 한 이러한 b들이기도 한 a들에, 그리고 c들이기도 한 이러한 b-아닌들이기도 한 a들에 할애할 구획들은 빠뜨릴 것이기에, 많아야 여섯 개의 상이한 구획들만을 지닐 것입니다. 그런데, 1904년 헌팅턴이 그 증명을 발표했던[14, p 309] 유명한 정리가 있습니다: 그 정리에 따르면, 모든 유한 논리 장(場)의 요소들의 수는일 수밖에 없습니다. 따라서, 그와 같은 논리 장에 적합한 대수는, 추가 제약 없이는, 요소들의 수가 2m (m›0, 정수)이 아닌 형식을 나타낼 수는 없습니다. 그와 같은 제약은, 요구될 경우, 통상 전제들을 통해 부과됩니다. 말하자면, 가능한 2m 개의 공간들 가운데 해당 우주에서 없어야 하는 것으로 요구되는 것이 있을 경우, 그것은 전적으로(즉, 지시하는 바 그대로) 배제되어야 합니다. 가능한 8개의 공간들 가운데 어떤 것도, 윗 삼단논법의 전제들로는, 배제되지 않기에, 8개 모두 실존하는 것들로 추정될 수밖에 없으며, 또한 그 수학적 형식은 적절히 해석될 수도 없습니다. 그렇지만, 그것들이 실존하면, 결론이 뒤따릅니다.
전통적으로 타당치 않은 윗 삼단논법을, 어떤 의미에서는, 타당한 것으로 보는 또 다른, 그리고 아마도 더 쉬운, 방식은 우리의 최초 해석 방법으로 돌아가는 것입니다. 표준 문장 상수들을 사용하면, 그것은
~((x∈a)⊃(x∈b-아닌)) . ~(~(x∈b-아닌)⊃(x∈c-아닌))
⊃ ~((x∈a)⊃(x∈c-아닌))
로 되며, 이 형식에서는 물론 참입니다.
여기에 잘못이 없습니다. 그렇다하여, 우리가 '어떤 a는 b다, 어떤 b는 ..., 등등'의 통상 뜻으로 취해진, 격리된, 그 삼단논법이 타당치-않은-것 이외의 어떤 것이라 주장하는 것은 아닙니다. 다만, 우리가 이것을 더 깊은 수학적 기초에 둘 경우, 일상어에서는 분명한, 형식과 그 내용 사이 비귀결적 관계들과 만나게(또는 맞서게) 된다는 것입니다. 그 관계는, 구체적 내용의 실존이 일반적 형식을 부정할 수 있다는 어느 정도는 우연한 사실로 생깁니다.
남은 것은, 그와 같은 일련의 사태들로 생겨난 의도하지 않았던 혼동에서, 할 수 있는 한 우아하게, 빠져나오는 일입니다: 빠져나왔다면, 그와 같은 혼동의 가능성을 잠들 게 할 가장 평화적인 일련의 규칙들을 고안한 것입니다. 이러한 목적을 이행하기 위해, 전통에 따라, 요청된 규칙들은 너무 많아서 어떤 것이 바탕 형성에서 간결한 모호성을 품고 있는 지 분간할 수는 없지만, 그것들은 분명 환원될 수 있습니다.
그와 같은 환원은, 우리가 보았던 것처럼, 퇴행(degeneration)으로 여겨질 수 있을 경우, 수학적으로 강력할 것입니다. 이 경우 이상적 퇴행이 되는 것은, 보편(혹은 전칭) 명제에 대한 두 종류의, 보편적 또는 실존적, 부정들이 결국 같은 것이 되는 지점에서 일 것입니다. 그러한 지점에서야 우리는 연산을, 그것이 우리 기대를 저버릴 것이라는 두려움없이, 맘껏 사용할 수 있을 것입니다.
우리가 관찰했던 바, 부류 논리에서 추론들 또는 방정식들이 보편적으로 해석되는 한 일차 대수는 그것들을 결정하는 데 자유롭게 쓸 수 있습니다.달리 말해, 부류 또는 집합들에 관한 보편 진술들에 맞추어진 문장 형식은 이때, 형식의 손실이나 취득없이, 정확히 들어맞는 것으로 보일 수 있습니다. 우리가 그와 같은 진술들을 실존적으로 해석하길 원할 때 곤란을 야기한 것은, 명백히 형식의 취득에서 생긴 것으로, 그 같은 진술들의 부정들입니다; 그 곤란은 우리가 이러한 측면에서 그 연산을, 완화시키기보다는, 제약할 필요를 찾았기에 생긴 것입니다.
잠시 되돌아가서, 클럽 규칙들에 관한 보우덴의 문제들을 풀기 위한 우리 절차들을 검토합시다. 그 해법의 대수적 경로에서 우리는 F3으로 표시된 표현,
을 발견합니다. 이것을 실존적으로 취하면, 이것이 의미하는 바는,
어떤 g 는 b 가 아니거나,
어떤 것들은 m 도 g 도 아니거나,
어떤 것들은 m 도 b 도 아니다
와 같습니다.
그러나 전체 논증은, 실상, F3을 취하는 거나 이런 식의 그밖에 매개적 표현에 의존하지 않습니다. 대수적으로는, 물론, 문제가 되지 않으며, 우리는 선택의 여지 없이 좋든 싫든 답에 이르게 됩니다. 해석의 위험들을 효과적으로 우회하는 경계 조망을 우리가 얻는 것은, 오직 그곳에 이르는 경로를 거슬러오르면서 도중에 함정 주시를 위해 멈추면서입니다.
그러므로, 자체로 제시된 첫째 규칙은, 그 논증이 실존적 해석을 요구하지 않는 한 결단코 그렇게 해석하지 말라는 것입니다. 분명 보우덴의 문제에는 그와 같은 요구가 없으며, 그래서 그것을 풀 때, 우리는 실존을 효과적으로 피할 수 있고, 그럼으로써 일련의 진행열 가운데 생겨난 함정들을 피할 수 있습니다. 이때 이에 부합하는 질문은 다음과 같습니다: 우리는 어디까지 피할 수 있으며, 어디까지 역전(逆轉)을 고려할 수 있으며, 문제 풀이 과정에서, 우리는 어떤 여건에서 어떤 지점에서 실존적 해석을 해야 하는가?
해답은 전혀 없습니다. 실존적 해석들은, 여하튼 필요한 곳에서, 그 문제로 진입하거나 떠나는 것을 허용 또는 막을 수 있지만, 문제 풀이 과정에서 생겨날 일은 결단코 없습니다.
이런 일이 어떻게 벌어지는 지 보기 위해, 바바라 삼단논법으로 되돌아가서 형식,
을 취합니다.
F1에서 3개의 복합체 각각의 순서는 전체 표현의 의미와는 무관하기에, F1을 자리를 바꾸면,
로 되며, 이를 다시 전사시키면,
모든 a 는 b 다
어떤 a 는 c 가 아니다
∴ 어떤 b 는 c 가 아니다
이 됩니다. F1을 다시 한번 더 자리를 바꾸면,
이 되고, 이는
어떤 a 는 c 가 아니다
모든 b 는 c 다
∴ 어떤 a 는 b 가 아니다
로 될 것입니다.
그래서, 바바라 삼단논법을 재연(再演)한 형식은 또한 보카르도(Bocardo)와 바로코(Baroco) 삼단논법들을 (각각의 경우 소전제로 불리는 것을 맨앞 자리에 놓았다는 것을 억기(憶起)하면) 재연한 형식이라는 것을 우리는 알 수 있습니다. 이상 3개의 삼단논법은, 똑같은 수학적 표현으로 효과적으로 환원될 수 있기에, 이러한 수준에서는, 동일한 논증 형식으로 나타날 수밖에 없습니다.
이것은 흥미롭고 매혹적인 것입니다. 흥미롭다한 것은, 이로부터 실존적 논증들에 대한 아주 단순화된 규칙-구조들을 얻을 수 있기 때문이며, 매혹적이다한 것은, 실존에서 논증(그 근거를 구하려)할 때 우리가 하고 있는 일에 대해 실마리를 던지고 있기 때문입니다. 지나는 길에 하는 말로, 프라이어가 우리한테 일깨워준 바처럼주)21, 이러한 동일성에 이르는 경로를 얼핏 알아차릴 것들이 아리스토텔레스의 저작에 분명 있습니다. 그 저작에서 아리스토텔레스는 최근 래드-프랭클린이 더욱 완전히 기술한 형식을주)22 언급하고 있습니다; 그 형식은 프랭클린이 3개의 삼단논법(syllogism)들을 축약한 안티로지즘(antilogism)이라 부른 것입니다. 여기서 우리는 추가된 단계를 해명했습니다: 그 단계에서 삼단논법의 3개이자-하나인 본성은, 이미지나 안티로지즘를 쓰지 않고, 그것을 전사시키는 것만으로 분명해졌습니다.
우리가 방금 상술했던 것의 변환에서(또는 그 역에서), 우리는 다음 명제를 관찰합니다.
해석 정리 2
실존적 추론이 타당한 것은, 오직 그 대수적 구조가 보편적 추론으로 보여질 수 있을 때 뿐이다.
예를 들어, F1' 와 F1"에서 각각 전사된 실존적 논증들이 타당한 것은, F1에서 전사된 보편적 논증의 타당성 때문입니다.
이 단 하나의 규칙으로, 삼단논법들, 그 부분들, 그리고 그 연장(延長)들에 대한 모든 개별 규칙들이 처리됩니다. 그 규칙에는, 특칭 전제는, 하나 이상일 경우 보편 논증으로 나타내는 것이 불가능하기에, 하나 이상일 수 없다고 하는 규정까지 포함되어 있습니다.
우리가 여기서 발견했던 것은, 실존하는 것들이 보편적인 것들과 축약되는 지점에서 우리가 찾던 퇴행이었습니다. 이 퇴행은, 앞서 문장 연산에서 이행되었던 것과 비슷하게, 특칭(구체적인 것)들의 구속에서 풀려나는 것에 다름아니며, 이를 통해 우리는 하나의 원형,
에서 삼단논법의 전체 구조를 보게 됩니다. 이 원형에서 우리는 각 복합체의 자리를 바꿀 수 있을 뿐만 아니라, 각 문자 변수에 독립적으로 가로지르기를 씌울 수도 있습니다; 이들 수단들을 조합하여 24개의 구별된 타당한 논증들이 발견됩니다. 형식에 있어서, 그것들 사이에는 차이가 없습니다. 어떤 것이든 구별할 경우, 모두 것들이 구별되어야 합니다. 실상, 논리학에서는 24개 모두 구별된 것이 아니라, 다소 임의적으로 15개가 구별되고 있습니다.
따라서, 축약을 깨달음으로써, 우리는 더 이상 삼단논법이나 관계된 논증들에 대한 그 구성과 타당성에 대한 규칙들을 억기할 필요가 없습니다. 이제, 이 모든 것들은, 우리가 여기서 이것들을 환원시킨 단순한 기본 형식과 해석으로 재구성될 수 있으며, 이 형식으로 포괄됩니다.
잠시, 캐롤의 연쇄삼단논법(sorites)으로 돌아가서 보면, 그것은 삼단논법을 기본 구성으로 한 일반적 형식임을 알 수 있습니다. 위에서 밟아졌던 퇴행을 비추어보면, 소거를 통해 결론을 밝힐 목적으로 발달시켰던 방법은 그 논증이 보편적인 것이냐 실존적인 것이냐에 똑같이 적용된다는 점을 알게 됩니다. 보편적 연쇄삼단논법의 경우는,
와 같습니다. 이것을 실존적인 것으로 변환하고자 할 경우, 우리는 결론을 부정하고 그것을 전제들 가운데 하나와 자리를 바꾸기만 하면 됩니다: 그 선택된 자체로 부정된 전제는 새로운 결론이 됩니다. 그래서 형식,
에서, 이를테면, 일련의 전제들,
을 얻고, 이로부터, 전에 했던 것처럼, 결론은 소거를 통해 드러날 수 있습니다:
.
오직 억기할 것은, 이것은 이제 실존하는 것이 될 것이며, 그래서, 이 경우에는,
로 쓰여져야 합니다.
이제 설명은 여기서 그만두겠습니다. 관심있는 독자라면 형편에 따라 계속할 수 있을 것입니다. 그 연산이 엄청난 복잡성을 지닌 문제들의 해법에, 실제(實際), 성공적으로 적용되고주)23 있다할지라도, 이제껏 풀었던 문제들과 답해진 질문들은 단순한 것들입니다. 그래서 초기 단계에서 많은 것들이 통상 간과되었으며, 보여진 것은 긴밀하다(또는 일관적이다)할 수 없을 만큼 단편들로 이루어진 일반적 상술입니다. 단순한 형식일지라도 잠시 동안 맘을 두는 바로 그 행위는 분명 자신의 모든 능력을 동원하게 할 수 있는 것입니다. 하여, 단순 형식들에 적절히 익숙해지기 전에 그것들에서 손을 놓은 것은, 허다한 또는 대개는 보람없는 수학적 여행들로 끝날 것입니다.
문제로 삼고 있는, 우리가 했던 것처럼, 발견될 수 있는 것은, 우리가 찾고자 할 경우, 극한의 단순한 수준에서, 요소들을 다루는 바 그 이상의 존재 방식입니다: 복잡성이 아닌 단순성의 측면 바로 위에서 행해지는 방식입니다. 이 점이, 저절로, 여기 쓰여진 것들을 쉽게 쫓아갈 수 있도록 하지는 않지만, 읽는 이가 쓰여진 바 부족한 것들을 관대하게 여기며 구성할 준비가 되어 있다면, 당신과 나의 노고에 대한 정당한 충분한 댓가를 얻을 수 있을 것입니다.
주)
18. Jhon A Maurant, Formal Logic, New York, 1963, p169.
19. Emil L Post, Amer. J Math., 43 (1921) 163-85.
20. B V Bowden, Faster than thought, London, 1953, p 36 에서.
* explain(설명(說明)한다)은, 문자 그대로, 하나하나를 쉽게 볼 수 있게끔 평면(plain)에 펼치는(out) 것입니다. 그렇기에, 나타냄, 즉, 현상을 위해 그밖에 차원들을 희생하면서, 반반한 곳에 놓거나(place) 배열하는(plan) 것입니다. 그렇기에, 그렇게 제거된 현실 또는 풍요로움을 무시한 대가로 쪼개 펼치는, 말인즉, 해석(解析)하는 것입니다. 그렇기에, 최상의 실재 혹 현실(prime reality), 또는 숭고(royalty)에서 조망을 제거하는 것입니다; 지식을 얻는 것은 그 세계(kingdom)를 잃는 것입니다.
21. A N Prior, Formal Logic, 2nd edition, Oxford, 1964, p 113.
22. C F Ladd-Franklin, Mind, 37 (1928) 532-4.
23. Cf G Spencer Brown, British Patent Specification 1006018 and 1006019 (1965).
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