9장 주석
우리가 관찰하는 바, 완전성 관념은 연산에 통째로 적용될 수 없고 단지 다른 연산으로 그것과 동일한 결정 또는 한정을 재현한 것에 적용될 수 있을 뿐입니다. 문제가 되는 것은, 실상, 대안적 표현 형식의 완성성입니다.
그와 같은 대안의 전형은 그 산술에 대한 대수적 재현입니다. 하지만, 우리는 형식에 대한 산술적 재현에서 실상 그에 대한 보다 핵심적 사례를 발견합니다. 후자의 경우, 재현에 대한 정리들에서 보는 것처럼, 완전성 관념은 일관성 관념과 응축됩니다. 약간 덜 핵심적인 경우, 두 관념들은 쪼개집니다. 따라서, 완전성에 대한 가장 원시적인 사례는, 그 순수한 형식으로, 대수적 재현에서 발견될 것입니다.
괴델이 주의를 환기시켰던 사실[5]은, 덧셈과 곱셈에 대한 재현들을 포함하는 대수는 이들 조작들을 기초 또는 요소로 취하는 자연수에 대한 산술을 충분히 설명할 수 없다는 것입니다. 따라서, 수 이론에서, 일정한 관계들은 증명될 수 있지만, 그와 같은 모든 관계들이 입증될 수 있는 대수는 결코 구성될 수 없습니다.
괴델 정리의 출현을, 나는 결단코 상당수 연구자들이 절망할 일로 여겼던 것처럼 보지 않고 오히려 축하할 일로 보았습니다. 왜냐하면, 그것은 수학자들이 경험에서 발견했던 것들, 특히, 보통 산술은 보통 대수보다도 풍부한 연구 기반임을 확증하고 있기 때문입니다.
10장 주석
초기 방정식들의 독립성은 통상 간접적으로 증명됩니다.15 오직 두 개의 초기로 조성된 집합에서 두 초기들의 독립성에 대한 직접적 증명은 언제든 가능하며 내가 이 텍스트에서 그와 같은 증명을 했다는 것을 우리가 고려할 때 그것이 명백해진 것일지라도, 보통은 잘 보이지 않습니다.
독립성 증명은 누락된 초기를 갖는 연산에 대한 불완전성 증명으로 정당하게 간주될 수 있습니다.
15 에드워드 V 헌팅턴, Trans. Amer. Math. Soc., 5(1094) 288-309 에 따라
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