6장 주석
그 자신의 기원을 드러내 전체의 일부로서 합체시킴으로써, 일차 대수는 연산자와 피연산자들 사이 관계의 본성에 이르는 직접적 통로를 제공합니다. 대수에서 피연산자는 그저 연산자의 추측된 현존이나 부재에 불과합니다.
이러한 피연산자와 연산자의 부분적 동일성은, 불 대수들에 한정되지 않는 것으로, 실상, 우리가 더 익숙한 기술들로 확장할 경우, 이들 기술들에서 그리 분명하지는 않아도, 볼 수 있습니다. 예를 들어, (통상 논리적 '또는'(V) 그리고 '그리고'(.)으로 해석되는, 그러나 여기서는 순전히 수학적으로 쓰이는) 불 연산자들을 취하는 경우, (적절성의 원리(principle of relevance)에 따라, 우리가 할 수 있는 바로) 그 연산자들의 사용 범위를 알아차린다면, (같은 원리로, 또한 할 수 있는 바로) 그 범위에서 변수들의 순서를 알아차린다면, 그리고 어떤 변수에 대해서도 수학적으로 외삽(外揷)하지 않는다면, 그 동일성을 발견할 수 있습니다:
... (a b c) V . (a b) V . (a) V . () V .
순열 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
순열 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
순열 1 0 0 1 0 0 0 0 0
순열 0 0 0 0 0
여기 아주 분명히 보이는 것으로, 산술 형식들 0, 1(또는 z, u, 또는 F, T, 등등)은, 각각, ()V 와 ().와 같은 것으로 볼 수 있기에, 우리한테 그러한 산술 형식들은 필요치 않습니다. 우리는 이제 이들 두 개의 토대 형성 입자들 가운데 하나의 현존을 추측하는 곳이면 어디서든 형식 a, b, 등등의 불 변수를 쓸 수 있지만, 그것이 어떤 것인지 확신할 수(또는 상관할 필요)는 없습니다. 그래서, 두 개의 변수들에 대해 V와 .를 적용한 기능 표들은, 가정된 바에 따른 순열,
( a b ) V .
( ()V ()V ) ()V ()V
( ()V (). ) (). ()V
( (). (). ) (). ().
이 됩니다.
J1, J2만이 일차 대수를 결정하는 데 취해질 수 있는 초기들은 아닙니다. 우리는 Huntington의 네 번째 공준-집합에서 C5, C6을 사용했을 것이라 보고 있습니다.주)11
C5, C6에서 J1, J2를 입증해내는 일은 어렵고도 지루한 일입니다. 분명코 이는, 우리가 두 개의 기본 대수 원리들을, 하나에서는 변수를 표현에 이식함으로써, 다른 하나에서는 그것을 표현에서 제거함으로써, 발견하고 있기 때문에 그렇습니다. 이들 기본 원리들을 따로따로 처리할 경우, 이어지는 입증들은 어렵지 않습니다. 그것들이, Huntington의 두 개의 방정식에서처럼, 서로 얽혀 있다면, 그때 이어 그것들을 푸는 것은 어려울 수 있습니다.
Huntington의 방정식에 대해 여기서 형식 C5, C6로 표현된 것은 원래는 그가 표현했던 형식은 아닙니다. 그는 순서 적절성과 이진 범위에 대한 삐걱거리는 가정들로 인해 방해받았지만, 그렇다해서 일차 대수가 어떤 곳에서든 약화된 적은 없었습니다. 이러한 연유로, 그는 그 집합을 완성하기 위해서는 두 개 이상의 방정식들을 부여하는 것이 필요하다는 점을 알게 되었습니다. 초기들로 고려된, C5, C6가 무엇보다 관심을 끄는 까닭은, 이것들은 J1, J2가 세 개의 변수들을 채택한 반면 단지 두 개의 변수들만을 채택하고 있기 때문입니다. 나는, 처음에는, C1의 입증을 그 모습 그대로의 J1, J2에서 끌어내는 것은 불가능할 것이라 생각했습니다. 1965년, 학생이었던 John Dawes씨는 반대 방향의 다소 긴 증명을 산출했고, 그래서 이듬해 나는 그 문제를 수업시간에 연습문제로 내놓았고, D A Utting씨의 가장 우아한 입증으로 보상받았습니다. 나는 이 텍스트에서 Utting씨의 입증을, 약간 수정해서, 사용하고 있습니다.
그것이, 외관상, 그리 능률적으로 보이지 않는다할지라도, 더욱 중요한 귀결들을 확인하는 데에는 수(數)들보다는 이름들을 쓰는 것이, <정리들은 일반적 형식으로는 순서 집합이 아니기에,> 진정 정리들과 함께 고려되고 있는 한, 더 자연스럽고 편리한 것이 될 것입니다.
그와 같이 귀결들에 이름 붙이며 내가 목표했던 바는, 산술의 기원을 손상시키지 않으면서 대수 그 자체로 현상하는 바로서, 이름붙인 과정에 대한 기술(記述)로서, 적합하게 보이는 것을 찾는 일이었습니다. 몇몇 곳에서 형식과 이름들은 불 대수들을 결정지었던 저자들의 그것들과 비슷한 것으로 알아볼 수 있을 것입니다. 이제까지 그 같은 대다수 경우, 통상 쓰인 이름은 단계가 밟힐 수 있는 방향들 가운데 단 한 방향만을 기술하고 있습니다. 불의 확장(Boolean expansion)이라 불린 것이 그 한 예입니다. 그 같은 경우, 나는 그 이름이 오직 한 방향으로 밟혀진 단계에만 적절한 곳에서는 나머지 방향에 적절한 반대어를 도입했으며, 양방향을 모두 총괄하는 이름을 주었습니다. 달리 알아볼 수 있을 경우들에서, 나한테 더 적절한 이름으로 보이는 것들을, 이를테면, Whitehead가 흡수(absorption)라 불렀던 것에주)12 대한 은폐(occultation)를, 찾아냈습니다. 표현에서 은폐되어 있는 부분은 나머지에 흡수된 것이라기보다는 그것에 가려진 것입니다. 이는 산술에서, 또는 그 표현을 벤다이어그램으로 도해할 경우, 아주 분명히 볼 수 있습니다. 내 아는 한, 내가 자리잡기(position)이라 부르고 있는 것을, 그와 같이, 알아보았던 과거의 필자로는 Peirce가 유일한 사람입니다. 그는 그것을 지우기(erasure)라 불렀고주)13, 그와 같이 재차, 주의(注意)를 적용의 한 방향으로만 이끌었습니다.
나는 모든 이름들이 언제까지나 유효할 것이라 생각하지는 않습니다. 익숙함은, 학구적으로 적합한 또는 품위 있는 것으로 여겨지는 것보다는 그 장소에서 종종 더 적절한 일종의 속어를 산출하는 경향이 있습니다. 예를 들자면, 귀결 2의 공학적 응용이 '재생'에 대해서는 더 소박한 '번식(breed)', '퇴화'에 대해서는 '복원(revert)'을 산출했으며, 또한 이 귀결의 변형들이 Proclus가 πρόοδος와 επιστροφή라 불렀던주)14, Dodds가 전진(procession)과 복귀(reversion)로 번역했던, 것들에 대한 직접적 이미지들임에 주목하는 것이 그것입니다.
'자리바꾸기(transposition)'와 통합(integration)과 같은 기술을 위한 이름들이 그밖에 수학에서(정말이지 이 책말고 다른 곳에서는) 다르게 적용되고 있다는 사실을 들어 이 장에서 정의된 의미들로 그것들의 사용을 회피하는 것은 말이 되지 않습니다. 탐구의 층위가 깊어질수록, 거기서 발견된 것을 씌울만큼 강력한 단어를 찾는 것은 더욱 어려워지며, 어떤 경우에서든 원시적 과정들을 기술하기 위한 나의 언어 사용은 언어의 외적 그리고 전문적 사용에 맞추어진 것이라기보다는 어의(語意)가 갖는 주된 권능에 기대고 있습니다.
수학적 연구로 창발하는 가장 아름다운 사실들 가운데 하나는, 바로 수학적 과정과 일상 언어 사이에 있는 이러한 유력한 관계입니다. 아주 예리한 정확성을 지녔으면서 단어들의 통상 용법에 그 중요성이나 심오함이 반영되지 않는 수학적 관념들은 없는 것 같으며, 이는, 특히, 우리가 단어들을 그것들의 기원, 그리고 때때로 오래 동안 잊혀졌던 의미들에서 숙고할 때, 진실입니다.
하나의 단어가 고려되고 있는 상이한 그러나 관계된 층위들에서 상이한 그러나 관계된 의미들을 가질 수도 있다는 사실로, 통상 의사소통이 불가능한 것은 아닙니다. 이와는 반대로, 그러한 사실이 없다면, 분명코, 아주 하챦은 관념들을 제외한 그 어떤 관념에 대한 소통도 불가능할 것입니다.
이 텍스트의 이 지점에서 수학적 소통을 조성하는 토대 형식들은 이제 실용적으로 완벽하므로, 축약된 언급 규준을 적용해서 발달시킨 속기 형식들 가운데 몇몇을 통상 형식으로 재번역하는 일은 보이지 않던 것을 보이게 하는 훈련일 수 있습니다. 이를 위해, 우리는 귀결 9에 대한 진술과 입증을 살펴 보겠습니다. 단어와 그림들로, 그것은 다음과 같이 행해질 수 있습니다.
줄여서, 교차-자리바꾸기 또는 C9이라 불렸던, 아홉번째 귀결은 아래처럼 진술될 수도 있습니다.
b 가로지르기 r 가로지르기 모두 가로지르기
a 가로지르기 r 가로지르기 둘 가로지르기 x
가로지르기 r 둘 가로지르기 y 가로지르기 r
둘 가로지르기 모두 가로지르기
는, 같은 값을 갖는
r 가로지르기 ab 모두 가로지르기 rxy 셋 가로지르기
를 표현하고 있습니다.
이 방정식에서 허용된 단계가 전자 표현에서 후자로 밟힐 때, 그것은 교차-자리바꾸기 또는 모으기라 불리며, 그 단계가 역으로 밟힐 때, 그것은 교차-자리바꾸기 또는 분배하기라 불리고 있습니다.
이 방정식은 다음과 같이 입증될 수 있습니다.
b 가로지르기 r 가로지르기 모두 가로지르기
a 가로지르기 r 가로지르기 둘 가로지르기 x
가로지르기 r 둘 가로지르기 y 가로지르기 r
둘 가로지르기 모두 가로지르기
는, C1, J2를 쓰고, 이어 재차 C1을 써서
b 가로지르기 r 가로지르기 모두 가로지르기
a 가로지르기 r 가로지르기 둘 가로지르기 xy
둘 가로지르기 r 둘 가로지르기 모두 가로지르기
로 바뀔 수 있습니다. 이것은 이어 C8을 쓰고 C1를 세 번 적용함으로써
baxy 둘 가로지르기 r 둘 가로지르기 모두 가로지르기
rxy 둘 가로지르기 r 둘 가로지르기 둘 가로지르기
로 바뀔 수 있습니다.
이하 생략...
여기서 우리가 관찰할 수 있는 것은, 수학적 언어들이 전적으로 시각적으로만 되어 있는 표현들에서는 그 어떤 적절한 구어체 형식도 찾아볼 수 없다는 점, 하여, 그것을 다시 말로 표현하기 위해서는 그것을 일상어에 걸맞는 형식으로 암호화(encode)할 수밖에 없다는 점입니다. 그래서 수학적 표현 형식은 분명하다할지라도, 그에 대해 말로 다시 표현한 형식은 모호한 것입니다.
쓰여진 것들을 입말(口語) 형식으로 번역하는 데 따르는 주요 곤란은, 수학적 쓰기에서는 2차원 평면에 맘대로 표시할 수 있는 반면에서 말하기에서는 오로지 일차원 시간에만 표시할 수밖에 없다는 사실에서 연유합니다.
오늘날 수학에서 불필요한 그리고 진전을 가로막는 많은 것들은 이러한 입말의 한계가 남긴 흔적들로 보입니다. 이를테면, 일상어에서 차원들의 복수성에 대한 직접적 언급을 피하기 위해서는, '그리고'와 '또는'과 같은 상수들의 범위를 고정시킬 수밖에 없으며, 이를 가장 손쉽게 행하는 곳은 최초 복수를 조성하는 층위에서입니다. 하지만, 그러한 고정을 글말(文語) 형식으로 옮겨 행함으로써 추가된 차원으로 인해 부여된 자유 재량을 알아차리는 것은 실패할 수밖에 없습니다. 이로써 우리는, 이어, 그것들을 일차원에 재현하는 편리성을 위해 당연히 여긴 연산자들의 쌍(雙) 범위는 그것들에 대한 실제 연산 형식에는 적절한 것이라 생각하는 데까지 이를 수 있습니다. 그것은 입말 수준에서 행해지는 단순한 연자자들의 경우에서조차 적절한 것이 아닙니다.
주석
11 Edward V Huntington, Trans. Amer.Math. Soc., 35 (1933) 280-5.
12 Alfred North Whitehead, A treatise on universal algebra, Vol. I, Cambridge, 1898, p36.
13 Charles Sanders Peirce, Collected papers, Vol. IV, Cambridge Massachusetts, 1933, pp 13-18.
14 ΠΡΟΚΛΟΥ ΔΙΑΔΟΧΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΩΣΙΣ ΘΕΟΛΟΓΙΚΗ with a translation by E R Dodds, 2nd edition, Oxford, 1963.
0개 댓글