3장 주석
단순화 가설은, 정당화되기 전에 쓰인, 최초의 공공연한(overt) 협약입니다. 하지만, 이것의 조짐은 앞 장의 주문(注文), “표현으로 지시된 상태는 그 표현 값이 되도록 한다”에 있었습니다. 이것은, 오직 하나의 표현이 하나의 상태를 지시하는 것 이하도 이상도 아닌 경우에만 그 표현에 값을 허용하는 주문입니다. 주문과 협약, 양자의 사용은 결국 재현에 대한 정리들로 정당화됩니다. 그밖에 지체 혹 유예된 정당화의 경우들은 차후 발견될 것입니다: 그 두드러진 예는 정리 16입니다.
왜 그와 같은 협약이 주어질 때 바로 그때 정당화하지 않는가 하고 물을 수 있습니다. 그에 대한 답은, 대다수 경우, (유효할지라도) 정당화는 우리가 정당화를 요구하는 해당 원리의 사용(use)에 최초로 익숙해지기 전까지는 의미가 없을 것이기 때문입니다. 달리 말하면, 깊숙한 곳에 있는 원리를 합리적으로 정당화하기에 앞서 우리한테 먼저 필요한 것은 그것이 어떻게 작동하는가를 잘 아는 일입니다.
우리는 이러한 지체된 정당화 관행이 다른 곳에서도 유효하다고 가정할 수 있습니다. 수학에서 증명되지 않은 채 남아 있는 유용한(useful) 정리들이 몇 개 되지 않는다는 것은 주목할만한 사실입니다. ‘유용한’으로 뜻한 바가 반드시 수학 이외의 실용적 응용과 관련되어야 하는 것은 아닙니다. 정리는 수학적으로, 예를 들어 또 다른 정리를 정당화하는 데에, 유용할 수 있습니다.
수학에서 가장 ‘쓸모 없는’ 정리들 가운데 하나는 Goldbach의 추측입니다. 우리는 자신들이 다음과 같이 말하고 있다는 것을 알아차리는 경우가 거의 없습니다: ‘2보다 큰 모든 짝수들은 두 개의 솟수의 합으로 재현될 수 있다는 것을 <우리가 알고 있다면, 우리는 그것을 보여줄 수 있어야 한다>’. D J Spencer Brown이 사적 편지에 꺼냈던 말로, 그러한 정리들의 명백한 무용성(uselessness)은, 바로 그와 같은 정리들이 증명될 수 없다는 데 있는 것이 아니라, 오늘날 유효한 증명이 주어질지라도 아직은 그와 같은 증명이 기초하고 있는 토대에 그 누구도 익숙하지 않기에 그것을 그와 같이 알아보지 못할 것이라는 데에 있습니다. 나는 이에 관해서 말할 기회를 8장과 11장의 주석들에서 다시 가질 것입니다.
4장 주석
모든 수학들에서 어떤 단계에 이르면 명백해지는 점은, 사실을 의식적으로 알아차리는 일 없이 한 동안 규칙들을 쫓아가고 있었다는 것입니다. 이는 감춰진(covert) 협약을 쓰고 있는 것이라고 말할 수 있습니다. 수학의 향상된 측면으로 인정될 있는 것은, 감춰진 것들을 드러나게 하는, 우리가 하고 있는 일에 대해 알아차리는 바를 촉진시키는 데 있습니다. 수학은 이러한 점에서 사이키델릭(psychedelic) 합니다.
성취하고자 하는 것의 시작 지점에 우리가 가까이 있을수록, 그곳에서, 주석(comment) 없이 채택되었던 절차들을 발견할 가능성은 더 높아질 것입니다. 그것들을 사용하는 것은 합의의 부재 속 배열의 현존으로 고려될 수 있습니다. 예를 들어, 정리 1의 진술과 증명에서, 배열되는 것은 (합의되지 않았을지라도) 바로 우리가 평면에 쓰는 것이다. 우리가 원환체의 평면에 쓰는 경우 그것은 참이 아니다. (혹, 그것을 참으로 만들려면, 우리는 보다 많은 것들을 분명히 해야 합니다.)
사람들이 수세기 동안 쓰기 수단으로 평면을 사용했다는 사실, 이 텍스트의 이 지점에서, 쓰이는 면은 평면이라는 가정에 의심없이 저자와 독자는 모두 속을 준비가 되어 있습니다. 하지만, 여타 가정들과 다르지 않게, 그것은 의심할 여지가 있으며, 우리가 여기서 그것을 의심할 수 있다는 사실은, 우리가 그것은 다른 곳에서도 의심할 수 있다는 뜻입니다. 사실, 우리는, 수학에서, 특히 평면에 (더 일반적으로는, 종수(genus)가 0인 표면에, 우리가 나중에(pp 102 sq) 이보다 더 일반적인 바로 우리가 이제껏 숨죽이고 있었던 또 다른 가정을 알아보게 되는 경우를 겪을지라도), 쓰여진 것 아래 깔려 있는 일반적인 하지만 이제껏 말해지지 않은 가정을 발견했습니다. 게다가, 이제는 명백해진 것으로, 다른 표면이 사용될 경우 그 위에 쓰여진 것은, 동일한 표시라 할지라도, 의미에서는 동일하지 않을 수 있습니다.
일반적으로, 정리들 사이에는 서열이 있습니다. 그래서 다른 정리들을 빌어 더 쉽게 증명될 수 있는 정리들은 그밖에 정리들이 증명된 이후 증명되도록 미루어집니다. 이 서열은 엄격한 것이 아닙니다. 예를 들어, 정리 3이 증명되고 나서야, 우리는 찾아낸 것을 정리 4를 증명하는 증거로 사용합니다. 그러나 그 순서는 오직 우리가 원하는 절차, 단순한 바에서 복잡한 바로 진행되는가, 아니면, 복잡한 바에서 단순한 바로 진행되는가에 의존하기에, 정리 3과 정리 4를 대칭적입니다. 독자는, 원할 경우, 먼저 정리 3을 빌지 않고 정리 4를 증명할 수 있으며, 그 후 그 텍스트에서 정리 4를 증명했던 방식과 유추 관계에 있는 방식으로 정리 3을 증명할 수 있을 것입니다.
정리 8을 상징으로 재현한 것은 정리 자체보다는 강하지 않다는 점이 관찰될 것입니다. 그 정리는
와 일치하지만, 우리는 그보다 약한 변형,
을 증명하고 있습니다.
보다 강한 변형은 분명 참이지만, 우리가 그것을 대수에서 하나의 귀결로 입증할 수 있음을 발견할 것입니다. 그러므로 우리가 증명하고 사용하는 것은 최초 대수 초기로서 보다 약한 변형입니다.
정리 9에서 우리가 보는 것은, 동사 나누다(divide)의 용법과 동사 쪼개다(cleave)의 용법 사이 차이입니다. 공간의 분할이란 하나의 상태에 대한 또 다른 방식으로 구별할 수 없는 분할들을, 모두 같은 수준에 있는 것들을, 초래하지만, 반면 절단 또는 쪼갬은 구별할 수 있는 상태들을, 서로 상이한 수준들에 있는 것들을, 빚어냅니다.
절단과 분할의 상대적 강도들에 대한 관념은, 수에 대한 규칙은 분할된 공간을 통합하는 것으로 충분하지만 쪼개진 공간을 무효로 하기에는 충분치 않다는 사실에서 끌어낼 수도 있습니다.
5장 주석
대수를 다루기 위한 규칙들을 끌어내면서, 텍스트에서는 기술된 시스템 이외에도 계산 시스템의 실존을 명백히 언급하고 있습니다. 이러한 언급은 의도적인 것이자 없어도 되는 것입니다. 그 언급은, 이들 시스템들에 통상 그 시스템들의 거짓된, 또는 잘려 버려진, 또는 공준으로 간주된 기원들을 장착하는 층위를 가리키는 표식입니다.
독자한테 의도적으로 알리는 바는, 우리가 형성하고 있는 계산 시스템에서, 우리가 여타 시스템들을 조성하는 기본 방법들에서 벗어나 있지 않다는 점입니다. 그래서 우리가 다다랐던 바는, 결국, 그것들을 해명하는 것을 도울 것이며, 뿐만 아니라 그것들이 진짜 기원을 갖추도록 할 것입니다. 그러나, 동시에, 독자한테 중요한 것은 여타 시스템들에 대한 언급이 텍스트에서 진행되는 논증 발달에는 없어도 되는 것임을 아는 일입니다. 고로, 여기서 그 언급의 장점은, 그것이 유용할지라도 여타 시스템들과 일치하느냐 또는 하지 않느냐에 좌우되는 것이 아니란 점입니다. 따라서, 규칙 1과 2는, 이것들의 정당화에서 볼 수 있는 것처럼, 텍스트에서 앞서 말해지지 않은 것은 그 어떤 것도 말하고 있지 않습니다. 그것들은 이제 막 이행하려는 새로운 종류의 계산에 적절할 명령과 지침들을 그저 요약한 것들일 뿐입니다.
규칙 2에서 언급된 치환은 통상 단순한 (즉, 쓰여진 바) 형식의 독립 변수 표현들에 한정되며, 사실 그렇게 이 텍스트에 한정되고 있습니다. 그러나 규칙에 따라 승인된 더 큰 권리에는, 요구될 경우, 귀결을 갖는 응용이 빠질 수 없습니다.
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