5.
연산에서 얻어진 연산(A Calulus Taken Out Of Calculus)
변수 형식의 표지들,
a, b, ...
로, 일차 산술에서 식들을 가리키도록 한다.
이것들이 갖는 값들은, 정리 5에 따라,
a = a, b = b, ...
인 경우들을 제외하고는 알려지지 않은 것으로 한다.
상수 형식의 표지들,
은 앞서 불려진(또는 선언된) 협약들에 따라, 최초 구별의 경계를 가로지르는 지침들을 가리키도록 한다.
변수 형식의 표지는 그것의 형식의 이름을 따서 부른다.
상수 형식의 표지를,
가로지르기(cross)
라 부른다.
정리 8을 기술하면서 쓰인 지시들은,
이 되도록 하는 맥락에서 얻어지도록 한다.
이것을 자리잡기(position) 형식이라 부른다.
정리 9를 기술하면서 쓰인 지시들은,
이 되도록하는 맥락에서 얻어지도록 한다.
이를 자리바꾸기(transposition) 형식이라 부른다.
자리잡기와 자리바꾸기 형식들을 어떤 연산의 초기(initial)들로 취한다.
그 연산은 일차 산술에서 결과된, 그리고 그에 걸맞는 연산으로 보이도록 한다.
그 연산을 일차 대수라 부른다.
대수 계산(Algebraic calculation)
대수들에서, 이하 두 개의 규칙들은 통상 기호 = 을 쓰면서 암묵적으로 허용되고 있다.
e = f 라면, 그리고 h 가 g 속 현상 e 에 상응하는 f 를 대입하여 구성된 식일 경우, 그때 g = h.
정당화. 이 규칙은 다시 나타냄, 재현에 대한 정리(1, 2, 3, 4)들에서 얻은 추론과 함께 산술의 대입 협약을 다시 진술한 것이다.
e = f 라면, 그리고 e = f 속 주어진 독립 변수 식(또는 표현) v 의 모든 표지가 식 w 로 치환된다면, 이 경우, 반드시 v 와 w 이 등가이거나 w 이 독립이거나 변수일 필요는 없고, 그리고 이러한 절차의 결과로 e 가 j 로 되고 f 가 k 가 되는 경우, 그때 j = k.
정당화. 이 규칙은, 우리가 등가의, 그러나 동일하지는 않은, 식들을 발견할 수 있다는, 수학적으로 고려된 것이지만 전적으로 명백하지는 않은, 사실에서 얻어지며, 연결에 대한 정리(8, 9)들로 증명된다. 그와 같은 식들로 조성된 방정식에서 각각의 독립 변수 지시자들은, 정리 5에 따라 그것의 가치가 그것의 지시자가 나타날 때마다 같은 것으로 여겨져야 하는 경우를 제외하고는 알려져 있지 않은, 얼마든지 바뀔 수도 있는, 식들을 상징하고 있다. 따라서, 그 지시자들 또한 얼마든지 바뀔 수 있다; 단, 지시자들로 나타난/현상한 모든 것들이 바뀌는 경우가 가능할 때 그렇다.
색인달기(Indexing)
발견된 부류들에 속한 것들에 숫자 붙이기 색인은, 이제부터, 대문자는 아래와 같이 부류의 기호로, 숫자는 뷰류에 속한 것들을 세는 기호로 쓰이며 달릴 것이다. 부류들은 아래와 같이 색인될 것이다.
귀결 C
일차 산술의 초기 I
일차 대수의 초기 J
규칙 R
정리 T
방정식들 또한, E로 지시되어 색인될 것이지만, 각 장에서 행해진 언급들은 별개의 집합들로 밀봉될 것이다. 그래서, 9장에서 E1, 등등은, 그 의도에 있어서, 8장에서 E1, 등등과는 똑같은 방정식들이 아니다.
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