사띠 & 호띠 시작과 끝에서 보며 본 것을 제자리에 두기

4.

일차 산술(The Primary Arithmethic)

초기 1. 수(Number)        

                                                      축약

                                                       확증

 초기 2. 순서(Order)  

                                                       소거

                                                       보상

    우리는, 이들 초기들에 대한 형식적 숙고들을 거쳐 보여질, 정리들이라 불리는, 일반 패턴들을 구별해낼 것입니다.  

정리 1. 형식(Form) 

   유한 기수(cardinal number:基數) 만큼의 가로지르기들로 조성된 형식은 하나의 식(式)으로 된 형식을 취할 수 있다.

   말하자면, 어떤 정수(整數) 만큼의 가로지르기들로 조성된 상상할 수 있는 모든 배열은, 연산의 초기(initial) 단계들을 거쳐 단순한 식에서부터 구성될 수 있다.

   우리는 이러한 정리를, 단순화 절차를 발견함으로써, 증명할 수도 있다: 단순한 식으로 환원될 수 있는 것은, 그 단계들을 역으로 밟아감으로써, 단순한 식에서부터 구성될 수 있기 때문이다.

증명

   공간 s에 그와 같은 배열 a를 취하라.

   절차.   배열 a에서 가장 깊은 공간을 찾으시오. 그것은, 주어진 a에서 가로지르기들의 수가 유한하고, 따라서 공간의 수가 유한하므로, 유한 탐색으로 찾아질 수 있다.

   그 공간을 s_d라 부르시오.

   이제 s_d는 가로지르기에 포함되어 있든, 아니면, 포함되어 있지 않다.

   s_d가 가로지르기에 포함되어 있지 않을 경우, 그때 s_d는 s이고, s에는 그 어떤 가로지르기도 없으며, 그래서 a는 이미 단순하다.   

   s_d가 가로지르기 c_d에 있을 경우, 그때 c_d는 비어 있다. 왜냐하면, c_d가 비어 있지 않다면, s_d는 가장 깊은 공간이 아닐 것이기 때문이다. 

   이제 c_d는 s에 홀로 있든, 아니면, s에 홀로 있지 않다.

   c_d가 s에 홀로 있을 경우, 그때 a는 이미 단순하다.

   c_d가 s에 홀로 있지 않을 경우, 그때 c_d는  

      (경우 1)  또 다른 빈 가로지르기와 함께 같은 공간에 있든 (다른 가로지르기가 비어 있지 않을 경우, s_d는 가장 깊은 것이 아닐 것이다), 아니면, 

      (경우 2)  또 다른 가로지르기 아래 공간에 홀로 있을 수밖에 없다.

      경우 1.  이 경우, c_d는 다른 빈 가로지르기와 축약된다. 그럼으로써 가로지르기 하나는 a에서 제거된다.  

      경우 2.  이 경우, c_d는 다른 가로지르기와 같이 소거된다. 그럼으로써 두 개의 가로지르기가 a에서 제거된다.

   이제, 경우 1 또는 경우 2에서 쓰인 절차를 각각 반복하면 (말인즉, 간단하지 않은 배열에 대한 절차는) 하나 또는 둘 이상의 가로지르기들을 갖는 새로운 배열을 초래하기에, 유한한 반복 후 a가 하나의 가로지르기로 축소되든가 아니면 완전히 제거되는 경우가 한 번 올 것이다. 

   그래서, 어떤 경우든, a는 단순하게 된다.   

   그러므로, 유한 기수(cardinal number:基數) 만큼의 가로지르기들로 조성된 형식은 하나의 식으로 된 형식을 취할 수 있다.

정리 2. 내용(Content)

   어떤 공간이 빈 가로지르기를 적시고 있을 경우, 그 공간에서 지시된 값은 표시된 그 상태다. 

증명

   빈 가로지르기 c_e를 갖는 공간 속 부분 p로 조성된 식을 고려하자. 어떤 경우에서든,

                             pc_e  =  c_e

를 증명하는 것이 요구된다.

   절차.   p를 단순화시키시오.

   그 절차가 p를 빈 가로지르기로 환원시킬 경우, 그때 그 빈 가로지르기는 c_e와 축약되고 오직 c_e만 남는다.

   그 절차가 p를 제거할 경우, 그때 오직 c_e만 남는다.

   그리하여, pc_e라는 모든 형식의 단순화는 c_e다

   하지만, c_e는 표시된 그 상태를 지시하고 있다. 

   그러므로, 어떤 공간이 빈 가로지르기를 적시고 있을 경우, 그 공간에서 지시된 값은 표시된 그 상태다.

정리 3. 일치(Agreement)

   하나의 식을 단순화시킨 결과는 유일하다.

   말하자면, 식 e를 단순한 표한 e_s로 단순화시킬 경우, 그때 e는 e_s 이외에 단순한 식으로는 단순화시킬 수 없다.

   식 단순화시키기에서, 우리는 단계들을 선택할 수도 있다. 그래서  이러한 선택에 의존하는 형식을 단순화 행위에서 발견할 수 없다면, 그 행위는 값에 대한 유일한 결정 인자일 수 없다.   

   이제, 단순화 가설이  값에 대한 유일한 결정 인자를, 상당수 식(式)들에, 제공하고 있다는 것은 분명하며, 우리는 이러한 사실을 써서 그 가설이, 모든 식들에, 그와 같은 결정 인자를 제공하고 있다는 것을 보여줄 것이다. 

   표시된 상태를 가리키는 그와 같은 식들의 수, 0보다 훨씬 큰 수를 m으로 나타내도록 한다. 

   표시되지 않은 상태를 가리키는 그와 같은 식들의 수를 n으로 나타내도록 한다.

   공리 1에 따라,

                           mm  =  m

그리고 

                           nn  =  n

그리고 단순화로 또는 정리 2를 써서,

                           mn  =  m

   m의 값을 우성(優性) 값이라 부르고, n의 값은 열성(劣性) 값이라 부르시오.

   이들 정의들과 숙고 사항들은 이제 다음 규칙들로 요약될 수 있다.

여섯 번째 규준. 우성(dominance) 규칙

    공간 s에서 식 e가 s에서 우성 값을 보이는 경우, 그때 e의 값은 표시된 그 상태다. 그렇지 않다면, 비표시된 상태가 e의 값이 된다.  

   또한, 정의,

            (i)       

            그리고

            (ii)       n   =  

에 따를 경우,

                          (i), 소거, (ii)

                         (i), (ii).

정리 3의 증명

   e가 공간 s₀에 있도록 하시요.

   절차.  e에서 공간 s₀부터 가장 깊은 공간까지 가로지르기 수들을 세시오.

   정의에 따라, s_d를 씌우고 있는 가로지르기들은 비어 있다, 그리고 그것들은 s_d-1의 유일한 내용들이다.  

   s_d-1 속 각각의 가로지르기는, 비어 있기에, 오직 표시된 상태만을 지시하고 있다고 볼 수 있으며, 그렇게 단순화 가설은 표시된 상태 값을 유일한 것으로 결정한다. 

   1    s_d-1 속 각 가로지르기 밖에 표시 m을 만들라.

   (i)에 따라 우리가 알고 있는 것은,

                            .

   따라서,                       절차

                                         (i)

                                             축약

이므로,  s_d-1 속 값은 아무런 변화가 없다. 

   그러므로, e의 값은 변하지 않았다.

   2    다음으로, s_d-2 속 가로지르기들을 고찰하시오.

   s_d-2 속 가로지르기는 비어 있든, 앞서 m으로 표시된 하나 또는 그 이상의 가로지르기들을 씌우고 있다. 

   그 가로지르기가 비어 있을 경우, 1의 고려 사항들이 적용되도록 빈 곳에 m을 표시하시오 

   그 가로지르기가 표시 m을 씌우고 있는 경우, 그 가로지르기 밖에 n을 표시하시오.

   (ii)에 따라 우리는 

                                  n =  

                                             임을 알고 있다.

   따라서 s_d-2 속 값은 변하지 않았다.

   그러므로, e의 값은 변하지 않았다.  

   3   s_d-3 속 가로지르기들을 고찰하시오.

   s_d-3 속 가로지르기는 비어 있든, 앞서 m 또는 n이 표시된 하나 또는 그 이상의 가로지르기들을 씌우고 있다. 

   그것이 표시 m을 씌우고 있지 않을 경우, 그것 밖에 m을 표시하시오.

   그것이 표시 m을 씌우고 있을 경우, 그것 밖에 n을 표시하시오.    

   각각의 경우, 1 과 2 의 고려들에 따라, s_d-3 속 값은 변하지 않았고, 따라서 e의 값도 변하지 않았다.

   s₀까지 이어지는 공간들에서 요구되는 절차에 추가할 것들은 없다.

   따라서, 절차에 따라 e 속 각각의 가로지르기는 m 또는 n으로 표시되는 것이 유일하다.

   그러므로, 우성 규칙에 따라, s₀ 속 e의 유일한 값은 결정된다. 

   그러나, 절차는 e의 값을 불변으로 남기고, 그 절차 규칙들은 단순화 규칙들에서 취해졌다.

   그러므로, 그 절차에 따라 결정된 e의 값은 단순화에 따라 결정된 e의 값과 똑같다.

   그러나 e는 그 어떤 식일 수 있다.

   그러므로, 식 하나를 단순화시킨 결과는 유일하다.

   도해   e를 

라 하시오.

   e에서 가장 깊은 공간은 s₄이며, 그러니 s₃ 속에 최초 가로지르기들을 표시하시오.

   다음, s₂ 속에 표시하시오

   다음, s₁ 속에 표시하시오

   마지막으로, s₀에 표시하시오   

   s₀ 속에 우성 값이 있다.

   그러므로,     

   단순화 절차에 따라 검사하면,

                 축약

                                                 소거(다섯 번)

   우리는 단순한 상태로 가는 단계들을 밟을 경우 연산에서 두 값들을 각각 지니며 지시자들이 구별을 유지하고 있음을 보였고, 그럼으로써, 단순화 가설이 정당하다는 것을 보여주었다. 완전성과 관련해서, 우리는 그것들이 단순한 상태에서 멀어지는 단계들을 밟을 때에도 비슷하게 구별을 유지하고 있음을 보여주어야 한다.

정리 4. 구별

   주어진 단순한 식에서부터 단계들을 밟아 구성된 식의 값은 상이한 단순한 식에서부터 단계들을 밟아 구성된 식의 값과는 구별된다.

증명

   단순한 식 e_s에서 단계들을 밟아 그 귀결로서 구성된 복잡한 식 e_c을 고려하시오.

   e_c 구성에서 각 단계는 되밟을 수 있기에, e_s에 이르는 e_c의 단순화는 실존한다.

   그러나, 정리 3에 따라, e_c의 단순화된 것들은 모두 일치한다. 따라서 e_c의 단순화들은 모두 e_s에 이른다.

   그래서, 정리 3의 증명에서 쓰임으로써 정당화된 단순화 가설에 따라, e_c의 가능한 유일한 값만이 e_s의 값다.

   그러나 e_s는 정의에 따라 구별된 값들을 갖는 단순 식들,  또는      가운데 하나일 수밖에 없다. 

   그러므로, 주어진 단순한 식에서부터 단계들을 밟아 구성된 식의 값은 상이한 단순한 식에서부터 단계들을 밟아 구성된 식의 값과는 구별된다.

일관성(Consistency)

   우리는, 방금, 연산 형식들이 가리키고자 하는 두 값들은 연산에서 허용된 단계들로는 혼동되지 않으며, 따라서 그 연산은 실제 그것의 의도를 이행하고 있음을 보여주었다.

   몇몇 것들을 가리키고자 하는 연산에서, 그것들이 어느 곳에서 혼동될 경우, 그때 그것들은 모든 곳에서 혼동되며, 그것들이 혼동될 경우 그것들은 구별되지 않으며, 그것들이 구별되지 않는다면, 그것들은 가리켜질 수 없으며, 그리고 그 연산은 그런 이유로 그 어떤 지시도 만들어낼 수 없다.

  구별이 헛갈리지 않는 연산은 그 의도들이 일관성이 있다고 말해질 것이다.   

식들의 분류(A classification of expressions)

   표시된 상태에 대한 식들은 우성이라 불릴 수 있다. 문자 m은, 달리 쓰이지 않을 경우, 우성 식을 지시하는 것으로 여겨질 수 있다.

   비표시 상태에 대한 식들은 열성이라 불릴 수 있다. 문자 n은, 달리 쓰이지 않을 경우, 열성 식을 지시하는 것으로 여겨질 수 있다.

정리 5. 동일성(Identity)

   동일한 식들은 같은 값을 표현한다.

   어떤 경우에서든,

                               x  =  x.

 증명

   정리 3과 4에 따라 우리는 식 x에서 밟아진 어떤 단계도 x로 표현되어진 값을 바꿀 수 없다.

   그러므로, x에서부터 밟은 단계들로 이를 수 있는 그 어떤 식도 x와 같은 값을 가질 수밖에 없다.

   또한 x와 동일한 식은 x에서부터 단계들을 밟아 이를 수 있으며, 그렇기에 그 단계들은 되밟힐 수 있다. 

   그래서 x와 동일한 그 어떤 식도 x와 같은 값을 가질 수밖에 없다.

   그러므로, 어떤 경우에서든,

                                             x  =  x.

정리 6. 값(Value)

    같은 값을 갖는 식들은 동일시될 수 있다.

증명

   x가 y와 똑같은 값을 표현하는 경우, 그때 x와 y 양자는 똑같은, e_s라 부르는, 단순한 식으로 단순화될 것이다.

   v = e_s라 하자. 따라서 v는 또한 e_s로 단순화될 것이며, 그렇게, v는 x든 y든 시작해서 단계들을 밟아 e_s에 이를 수 있으며, 그때 v의 단순화는 되밟힐 수 있다. 

   따라서 

                     x  =  v   이며 

                     y  =  v.

   그러므로, 치환 협약에 따라, x와 y 양자는 각각의 경우 동일한 식 v로 바뀔 수 있다.

   하지만, x와 y는 등가의 식들일 수 있다. 

   그러므로, 같은 값을 갖는 식들은 동일시될 수 있다.

정리 7. 귀결(Consequence)

   동일 식과 같은 값을 갖는 식들은 서로 등가다. 

   어떤 경우에서든,  x  =  v   이며  y  =  v  라면,

                                            그때,     x  =  y.

증명

   e_s는 단순하고,  v  =  e_s라 하자.

   이제,  x  =  v 이고  y  =  v 이므로, x에서부터 단계들을 밟아 그리고 y에서부터 단계들을 밟아 e_s에 이를 수 있다.

   절차.  x에서부터 e_s까지 단계들을 밟고, e_s에서 되밟아 y까지 이른다. 

   그래서, x에서부터 단계들을 밟아 y에 이른다.

   그러므로,  어떤 경우에서든,  x  =  v 이고  y  =  v  이면, 

                                                           그때,    x  =  y.  

정리 8. 불변(Invariance)

   이어지는 공간들 s_n, s_n+1, s_n+2가 두 개의 가로지르기들로 구별되고 있으며, s_n+1이 적시고 있는 것은 s_n+2 속 전체 식과 동일한 식일 때, s_n에서 결과되는 식의 값은 비표시 상태다. 

   어떤 경우에서든,

                                     .

증명

    이라 하자. 이 경우에,

                                  대입

                                                           순서(두 번)

   이제,     이라 하자. 이 경우에,

                                           대입

                                                            순서

   p 이외의 경우는 없다.                                정리 1 

   p에 대입하는 또 다른 경우는 없다.              정리 5, 6

   그러므로, 어떤 경우에서든, 

                                                  .

정리 9. 변이(Variance)

   이어지는 공간들 s_n, s_n+1, s_n+2는 가로지르기 하나로 s_n, s_n+1가, 그리고 가로지르기 둘로 s_n+1, s_n+2가 구별되도록 (그래서 s_n+2는 두 구역을 갖도록) 배열될 경우, 그때 s_n속 전체 식 e는 s_n+2의 각 분할에서 동일한 식을 s_n으로 빼낸, e의 여타 측면들은 비슷한, 식과 등가다. 

   어떤 경우에서든,

                             .

증명

    이라 하자.

   그러면,

                     대입

                                            정리 2(두 번)

                                                     순서(두 번) 

   그리고 

                           대입

                                                     정리 2.

   그러므로, 어떤 경우에서든,     

                              정리 7

   이제,       이라 하자.

   그러면,

                                  대입

                                대입

   그러므로, 어떤 경우에서든,

                              정리 7

   r 이외의 경우는 없다.                               정리 1    

   r에 대입하는 또 다른 경우는 없다.             정리 5, 6

   그러므로, 어떤 경우에서든,

정리들의 분류(A classification of theorems)

   처음 4개의 정리들은 재현의 완전성과 일관성에 대한 진술들을 포함하고 있다. 이들 정리들의 증명들은, 일차 산술을 최초 구별로 구별된 진술들에 대한 지시자 시스템으로 사용하는 바에대한 정당화로 이루어져 있다. 우리는 이것들을, 다시 나타낸 또는 나타나는 바, 재현에 대한 정리들이라 부른다.

   그 다음 3개의 정리는 이어지는 정당화들이 지나치게 거추장스럽지 않게끔 하는 절차의 축약들의 사용을 정당화하고 있다. 우리는 이것들을 절차에 대한 정리들이라 부른다.

   마지막 두 개의 정리들은 새로운 연산으로 진입하는 관문으로 쓰일 것이다. 우리는 이것들을 연결에 대한 정리들이라 부른다.

   새로운 연산은 자체로 더 진전된 정리들을 낳을 것이다. 이들 진전된 정리들은, 옛 정리들에 대한 직접적 언급 없이 새로운 연산에 대한 측면들을 기술하면서, 순수 대수 정리들 또는 2차 정리들이라 불리울 것들이다.

   게다가, 우리는 함께 고려된 두 개의 연산에 관한 정리들을 발견할 것이다. 가교 역할을 하는 정리와 완전성 정리가 그에 해당되며, 우리는 이것들을 혼합 정리들이라 부를 수 있다.