3.
계산에 대한 착상(The Conception of Calculation)
1 가로지르기를 구성하시오.
2 그것에 c를 표시하시오.
3 c를 그것의 이름으로 하시오.
4 그 이름이 가로지르기를 지시하도록 하시오.
이상 네 개의 (2개의 구성 의향과 2개의 협약 의향으로서) 주문들은, 하나의 (혼합된 의향으로서) 주문,
1 가로지르기 c를 시행하시오
로 축약되도록 한다.
일반적으로, 주문들은 계속해서 쫓을 수 있는 정도에서 축약되도록 한다.
세번째 규준. 대입(代入:substitution)에 대한 협약
(표현된) 식(式)에서는, 어떤 배열이든 등가의 배열로 바뀌도록 한다.
그와 같은 변화를 단계라 부른다.
기호,
는 단어들이
로 바뀌는 것을 상징한다.
기호로서 미늘이 변화 방향을 지시하도록 한다.
단계는 이제
보다는
에서와 같이,
그 종류와 관련해서 고려될 수 있을 뿐만 아니라,
보다는
에서와 같이,
그 방향과 관련해서 고려될 수도 있다.
네번째 규준. 단순화 가설(Hypothesis of simplication)
배열 값은 그 배열이, 단계들을 밟아, 바뀔 수 있는 단순한 식의 값이 된다고 가정한다.
예. 배열, 
의 값을 찾기 위하여 단순화 단계들,
축약
소거
을 밟아, 그 배열을 단순한 식으로 바꾼다. 이제, 단순화 가설에 따라, 배열의 값은 표시된 상태로 가정된다.
그래서, 배열 값은 그 배열이 단순화될 수 있는 경우에 가정될 수 있다. 그렇지만 몇몇 배열들은 한 가지 이상 방식들로 단순화될 수 있으며 또 다른 것들은 전혀 단순화될 수 없는 것으로 생각될 수 있다. 따라서, 단순화 가설이 값에 대한 유용한 결정 인자라는 것을 보여주기 위해서, 우리는, 어느 단계에선가, 주어진 배열은 단순화될 것이며 그것을 단순화시키기 위한 가능한 절차들은 모두 그에 따르면 동일한 단순 식에 이를 것이라는 점을 보여주어야 할 것이다.
다섯 번째 규준. 언급의 확장(Expansion of reference)
원시 방정식들에 이제껏 쓰인 이름들은 단순화되는 방향으로 단계들을 암시하고 있었고, 그래서 그 이름들은 실상 어떤 (반대) 방향으로 밟아질 수 있는 단계들에는 전적으로 적합하지 않다. 그러므로 우리는 언급 형식을 확장한다.
축약 (condensation) 
수(number)
확증(confirmation) 
소거(cancellation) 
순서(order)
보상(compensation) 
일반적으로, 언급의 축소는 알아차림(自覺)의 확장을 동반하며, 언급의 확장은 알아차림의 축소를 동반한다. 알아차림을 통해 행해지는 것이 규칙에 따라 행해지고 있다면, 언급 형식들은 성장하여 (말하자면, 나뉘어져) 규칙들의 자리를 마련해주어야 한다.
언급의 축소와 비슷하게, 그것의 이미지로서, 언급의 확장도, 원래, 저절로(of its own accord) 일어난다. 그것은 처음에는 기묘한 절차인 듯 보이며, 그렇기에 그 절차를 허용하는 규칙으로 불리는(宣言되는) 듯 생각된다. 하지만, 우리가 숙고할 경우, 의도에 대한 협약을 지키기 위해 우리는 저절로 일어나는 어떤 과정에 대해서든 규칙을 부를(宣言할) 수밖에 없다는 것을 보게 된다.
그렇기에, 일반적으로, 언급의 어떤 형식이든 제한 없이 나누어질 수 있도록 한다.
하나의 형식이, 단계들의 귀결로서, 또 다른 형식으로 바뀌는 절차를 계산이라 부르며, 계산을 허용하는 구성과 협약들의 체계 또는 시스템을 연산(calculus)이라 부른다.
연산에서 허용된 단계의 형식들은 주어진 일련의 방정식들로 보일 수 있는 모든 형식들로 정의될 수 있다. 이들 형식들을 결정하기 위해 그렇게 쓰인 방정식들을 그 연산의 초기 방정식들 또는 초기들이라 부른다.
지시들에 대한 연산(The calculus of indications)
두 개의 원시 방정식들,
수(number)
순서(order)
을 초기(initial)들로 취해 결정된 연산을 지시들에 대한 연산이라 부른다.
이들 초기들의 직접적 귀결로서 발생된 형식들로 한정된 연산을 일차 산술이라 부른다.
0개 댓글